Regionalização
Regionalização
Regionalizar, neste contexto, significa viabilizar a estimativa de extremos pluviométricos e curvas IDF/DDF (Intensidade/Lâmina–Duração–Frequência) em localidades sem observações sub-horárias confiáveis, ou mesmo sem qualquer medição, transferindo informação no espaço e entre durações. A motivação central é que, embora o uso de IDFs seja disseminado, sua construção demanda séries de boa qualidade e consistência temporal. Em áreas não monitoradas, a incerteza passa a ser dominada pelas fontes de dado utilizadas para ajuste dos modelos. Uma alternativa para mitigar esse problema é organizar o espaço em regiões hidrologicamente coerentes, definidas por combinações de variáveis geográficas e climatológicas que maximizem a similaridade intra-região e o contraste entre regiões. Tal arranjo permite inferir parâmetros (p.ex., de escalonamento) que variam suavemente com a geografia e, assim, ancorar curvas locais em sítios não monitorados a partir de preditores físico-climáticos (Wang, Wilby, e Yu 2024).
Diante disso, existe um trade-off inevitável. Modelos parcimoniosos estabilizam as estimativas e facilitam a transferência para locais sem dados, mas suavizam variações locais. Já modelos que explicitam dependências espaciais e possíveis não-estacionariedades descrevem melhor a variabilidade, porém exigem mais dados e maior cuidado na inferência. À luz desse trade-off, este capítulo organiza-se em cinco famílias metodológicas que respondem a necessidades distintas do problema: (i) Análise de Frequência Regional e regionalização por índice, baseada em zonas discretas e “suficientemente homogêneas”; (ii) Modelagem de Escala e IDF/DDF, que formaliza relações de escala para transportar informação entre resoluções; (iii) Modelagem de Extremos Espaciais e Hierárquicos, que constrói campos espaciais contínuos definidos estatisticamente; e (iv) Análise de Co-variabilidade e Abordagens Multivariadas, que introduzem condicionantes climáticos e dependências conjuntas para refinar a regionalização e a predição de extremos. As seções seguintes percorrem essas quatro vertentes, explicitando seus princípios organizadores, hipóteses e implicações práticas para estimar curvas IDF em locais sem medição e para horizontes de retorno mais longos.
Análise de Frequência Regional e Regionalização
Esta seção apresenta as abordagens fundacionais que agrupam estações “suficientemente homogêneas” para estabilizar a estimação. Parte-se do princípio de que tais locais compartilham uma função de crescimento comum, a forma da distribuição e a relação duração–retorno, e diferem por um índice local que representa o nível/escala do processo. Operacionalmente, a regionalização se organiza em três etapas: (i) definição de regiões homogêneas; (ii) estimação da forma regional, tipicamente por L-momentos; e (iii) mapeamento do índice local via covariáveis fisiográficas/climáticas ou interpolação espacial, etapa que, na prática, tende a dominar a incerteza. A narrativa desta seção acompanha a evolução de agrupamentos e regressões simples para procedimentos diagnósticos e de ajuste mais rigorosos, preservando o núcleo conceitual da função de crescimento comum.
Um exemplo desse tipo de metodologia é apresentado no estudo da CPRM (2000) desenvolvido para o estado do Rio de Janeiro. O estudo apresenta uma análise de frequência regional que combina séries de duração parcial (POT), frente a séries curtas e com falhas (5 min–24 h), com a definição de regiões homogêneas via agrupamento (K-means), usando como descritores a precipitação média anual (MAP), latitude/longitude e altitude, com pesos diferentes, resultando em quatro regiões no estado. Em cada região, estimam-se L-momentos amostrais, verificação de discordância \(D_i\), medida de heterogeneidade \(H\), seleção da distribuição regional por estatística \(Z\). A forma final da equação IDF regional segue o modelo de índice-enchente (index-flood). Para um local \(j\), duração \(d\) e período de retorno \(T\), a estimativa de intensidade é \(\widehat{I}_{j,d,T}=i_j(d)\,\mu_{T,d}\), em que \(i_j(d)\) é o índice local (escala) e \(\mu_{T,d}\) é o quantil adimensional regional (função apenas de \(T\) e \(d\), comum à região). Os \(\mu_{T,d}\) são tabelados (um vetor por duração/retorno), enquanto \(i_j(d)\) é obtido por regressão múltipla contra covariáveis fisiográficas/climáticas para viabilizar predições em pontos sem posto. O relatório explicita essa estrutura e o uso da precipitação média anual e altitude (e a própria duração \(d\)) como preditores candidatos, escolhidos por critério de ajuste parcimonioso. Assim, a variabilidade espacial entra por \(i_j(d)\), ao passo que a forma de cauda e a relação duração–retorno ficam em \(\mu_{T,d}\).
Enquanto o método do índice-enchente oferece um arcabouço poderoso, outras abordagens buscaram fórmulas mais diretas e parcimoniosas para toda a relação IDF/DDF, motivando a decomposição paramétrica. A proposta de Alila (2000) desacopla duração e frequência e ancora a escala em 60 minutos. Para durações curtas (\(d<60\) min), a lâmina obedece a
\[R_d^T=0.183\,d^{0.433}\;R_{60}^T \qquad (d<60\ \text{min}) \tag{1}\]
implicando que a relação lâmina–duração é, na prática, pouco sensível ao período de retorno e à localização nesse intervalo. Na dimensão frequência, para cada duração fixa \(d\), modela-se a razão da relação lâmina-frequência \((=R_d^T/R_d^{10\ \text{anos}})\) como função logarítmica da precipitação média anual da região (\(\mathrm{MAP}\), em mm):
\[\frac{R_d^T}{R_d^{10\ \text{anos}}}=c\,\ln(\mathrm{MAP})+e,\qquad c=-0.038\ln T+0.088,\ \ e=0.495\ln T-0.152 \tag{2}\]
o que, combinado com a âncora em 60 min, fornece expressões diretas para \(R_{60}^T\). A mesma lógica de separar um índice de referência de uma função de crescimento comum reaparece em Brath et al. (2003), agora com âncora em 24 h e com ênfase em avaliar a transferibilidade para postos não monitorados. O fator de duração assume relação linear no espaço entre \((R_{T,d}\; vs \; R_{T,24\text{h}})\),
\[ R_{T,d}=A(d)\,R_{T,24\text{h}}+B(d,T) \tag{3}\]
com \(A\) dependente apenas de \(d\) (ajustada por lei de potência) e \(B\) dependente de \(d\) e \(T\); e (ii) a equação lâmina–frequência por duração fixa,
\[ R_{T,d}=R_{10\text{anos},d}\,\big[f\,\ln(T/10)+1\big] \tag{4}\]
em que \(f\) é constante na sub-região de Tirrena e função da precipitação média anual no restante do domínio. A regionalização final depende apenas de \(R_{10\text{anos},24\text{h}}\) e da precipitação média anual, e a validação jackknife (técnica de reamostragem estatística) – realizada retirando postos longos, recalibrando sem eles e interpolando o índice por krigagem – mostra que o erro de predição é, em grande medida, o erro de mapear o próprio índice \(R_{10\text{anos},24\text{h}}\), indicando que a metodologia é tão confiável quanto a etapa de mapeamento dos índices permite. Os métodos acima tratam as observações em diferentes locais como estatisticamente independentes, uma vez que as covariáveis são consideradas. No entanto, os campos hidrológicos são espacialmente correlacionados. Outra alternativa é incorporar essa correlação diretamente na estrutura de regressão.
A introdução do modelo de regressão denominado Mínimos Quadrados Generalizados (GLS) nos anos 1980s por Stedinger & Tasker (1985, 1986), e aprimorados ao longo do tempo, representa um refinamento estatístico nesses tipos de modelos espaciais hidrológicos. Enquanto os Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) assumem erros independentes e identicamente distribuídos, uma suposição inadequada para dados espaciais, onde locais próximos são correlacionados e os comprimentos das séries variam, o modelo GLS aborda essa limitação ao incorporar uma matriz de covariância, que engloba, além da variância do erro modelo, a matriz de covariância amostral das estimativas em cada estação. Em Haddad et al. (2011), a Análise de Frequência Regional é formulada como três regressões regionais por duração: para o índice (\(log\ell\)), a L-CV e a L-assimetria, com covariáveis fisiográficas/climáticas (latitude, longitude, distância ao litoral e estatísticas de 24 h, 12 h e 1 h). A matriz de covariância \(K\) combina variâncias amostrais (na diagonal; obtidas por fórmulas aproximadas para \(\ell\) bootstrap paramétrico para L-CV e L-SK) e correlações interestações (fora da diagonal; função exponencial da distância para garantir invertibilidade). O quantil regional por duração fixa mantém a forma índice × fator de crescimento,
\[ \widehat I_T \;=\; \widehat \ell\;\widehat z_T \tag{5}\]
em que \(\widehat \ell\) é a chuva média da Precipitação Máxima Anual (índice) e \(\widehat z_T\) é o fator regional de crescimento obtido via GEV/L-momentos. Ao final, aplica-se uma suavização cúbica em \(\log_{10}(d)\) para eliminar quebras entre durações, resultando em transições mais lisas e erros relativos medianos tipicamente <3–4%.
Em Haddad e Rahman (2012), o enfoque passa a ser um modelo de Mínimos Quadrados Generalizados em versão Bayesiana (BGLS), introduzida primeiramente por Reis et al. (2005), com Região de Influência (ROI) adaptativa ao sítio-alvo. Apesar da análise ter sido aplicada para vazões máximas anuais, a mesma pode ser igualmente aplicada para chuvas intensas, como será descrito na sequência. Parte-se de um modelo em região fixa para seleção parcimoniosa de preditores – Variância Média de Predição (AVP) para posto novo/antigo; Critério de Informação de Akaike (AIC) / Critério de Informação Bayesiano (BIC); valor-p Bayesiano (BPV) para significância bayesiana, \(R^2_{\text{GLS}}\)). Em seguida, amplia-se iterativamente o conjunto de estações (p.ex., 15, 20, …), recalculando a variância preditiva até definir o ROI ótimo (o tamanho de amostra que minimiza a incerteza de previsão). Duas rotas são comparadas no mesmo arcabouço: QRT (regressão direta de quantis de cheia) e PRT (regressão dos parâmetros da log-Pearson III, seguida da composição de quantis). A avaliação combina Pseudo-ANOVA, resíduos padronizados/Z-scores e validação cruzada leave-one-out (REr, RMSEr), mostrando que BGLS-ROI supera a região fixa e que QRT e PRT têm desempenho semelhante, com o ganho adicional de alinhar a definição de “região” ao critério de mínima variância preditiva. Este conceito é um ponto de inflexão: a “região” não é mais fixa, mas definida de forma única para cada local-alvo, tipicamente com base na proximidade geográfica ou no espaço de atributos. Essa definição fluida de região é um salto conceitual importante em relação às zonas fixas do estudo da SGB-CPRM (2000).
Adicionalmente, Haddad et al. (2015) comparam três estratégias dentro de uma BGLSR para a regionalização de chuvas intensas: região fixa, ROI geográfica e um modelo híbrido (facet–hybrid) que organiza áreas contíguas por orientação de encosta (aspect) e coerência topográfica. As estatísticas-L subdiárias (60–720 min) são modeladas em função de covariáveis físicas, a correlação inter-estações entra na matriz de covariância amostral da regressão da versão Bayesana do modelo de Mínimos Quadrados Generalizados (BGLS), e prioris pouco informativas regulam a estimação. A conclusão prática é que ampliar o conjunto de estações no ajuste reduz substancialmente os erros e que incorporar coerência topográfica melhora a transferência espacial.
Há, finalmente, abordagens ancoradas em relações entre durações que substituem a função de crescimento explícita por coeficientes médios de desagregação organizados espacialmente. Basso et al. (2016) reavaliam e atualizam a regionalização de chuvas intensas no Brasil originalmente proposta por Torrico (1974) consolidando cerca de mil estações com equações IDF recentes, padronizando a comparação em TR = 10 anos e extraindo razões \(r_{\mathrm{min},24\mathrm{h}}\) que, espacializadas, redefinem isozonas e coeficientes médios regionais. Como verificação, os autores mostram que a forma geral das isozonas de Torrico (1974) é em grande parte preservada. Em direção oposta, isto é, agregando a informação de todas as durações e períodos de retorno, Parding et al. (2023) constroem uma base de dados onde cada estação traz todos os valores de curvas IDF (para todas as durações e períodos), aplica-se Análise de Componentes Principais/Decomposição em Valores Singulares (PCA/SVD) (\(X=U\Sigma V^\top\)) para extrair poucos modos que representam os padrões dominantes (o primeiro componente controla o nível e a inclinação média; o segundo componente, a curvatura). Em seguida, regionalizam-se apenas os escores desses modos por regressão bayesiana em variáveis geográficas e climáticas, com seleção automática de preditores. Para um local sem medições, prevêem-se os escores a partir desses preditores e reconstrói-se a superfície da curva IDF completa, obtendo ainda bandas de incerteza para todas as durações e períodos de retorno ao mesmo tempo.
Em cenários operacionais em que o alvo a regionalizar não vem de postos, mas de grades numéricas, pode-se primeiro transportar quantis da grade para o ponto e, só então, aplicar o mesmo aparato de regionalização. Dessa forma, Simonovic et al. (2017) introduzem uma abordagem de correspondência de quantis (EQM - mapeamento equidistante de quantis) que atualiza as curvas IDF históricas usando fatores de mudança derivados de projeções de GCMs. O EQM é implementado em três passos: (i) downscaling espacial que liga a distribuição empírica de precipitação máxima anual observada no posto, \(F_{o}\), à precipitação máxima anual simulada pelo GCM no período base, \(F_{m,b}\); (ii) downscaling temporal que liga a precipitação máxima anual do GCM no período base à do período futuro, \(F_{m,f}\); e (iii) composição dessas ligações para obter, para cada probabilidade \(p\) (ou período de retorno \(T\)), a precipitação máxima anual futura no posto. O aspecto de regionalização vem da interpolação espacial (interpolação por vizinhos naturais) desses valores IDF atualizados.
De modo análogo, fatores de mudança por duração e \(T\) podem fornecer alvos quantílicos a incorporar na regionalização.
A evolução dentro deste paradigma clássico revela uma busca contínua por uma definição mais realista de “região”. O percurso vai desde a declaração de zonas geográficas fixas com fronteiras nítidas (Davis e Naghesttini 2000; Basso et al. 2016), passando por uma concepção mais flexível de vizinhanças fluidas e centradas no local-alvo (Khaled Haddad et al. 2015), até uma reinterpretação da região não como um conceito geográfico, mas como um padrão compartilhado em um espaço funcional de alta dimensão (Parding et al. 2023).
Regionalização através da Invariância de Escala Temporal
Esta seção apresenta uma escola de pensamento distinta que explora as propriedades físicas da precipitação. Em vez de focar na proximidade espacial, assume-se que a relação estatística entre a precipitação em diferentes escalas de tempo (durações) segue uma forma previsível, frequentemente uma lei de potência. A tarefa de regionalização, então, desloca-se para o mapeamento dos parâmetros dessa lei de escala.
O conceito central é a invariância de escala, onde as propriedades estatísticas da intensidade de chuva na duração estão relacionadas às de uma duração de referência \(D\) por uma lei de potência. Para a escala simples, os momentos estatísticos são iguais em distribuição, a menos de um fator de escala \(\lambda^\eta\). Isso implica que a forma da curva IDF em um gráfico log-log é linear, uma propriedade poderosa para a interpolação e extrapolação entre durações. O estudo de Nguyen et al. (1998) propõe uma regionalização para estimativa de extremos em durações curtas (p.ex., 1 h) quando no local só existem dados de longa duração (p.ex., 1 dia). A ideia central é a invariância de escala simples: as propriedades estatísticas dos máximos anuais em duas escalas temporais \(d\) e \(\lambda d\) se relacionam por um operador de mudança de escala que depende apenas da razão \(\lambda=\tfrac{\text{duração curta}}{\text{duração longa}}\). Assumindo GEV como modelo dos extremos, o parâmetro de forma é mantido invariante entre escalas, enquanto localização, escala e os quantis escalam como potências de \(\lambda\). O expoente de escala \(\eta\) é estimado, quando há ambas as durações no posto, pela razão entre médias dos máximos. No caso parcialmente monitorado (sem a série de 1 h), \(\eta\) é obtido de forma regional, interpolando a partir de razões duração curta/duração longa em mapas regionais, e então se “transporta” a GEV de 1 dia para 1 h pela relação de escala.
Yu et al. (2004) constroem IDFs regionais para locais sem medição a partir da invariância de escala temporal e da distribuição de Gumbel (EV1), com três etapas: (i) estimar, em 46 postos, a lei de escala das séries de máximos anuais (1–24 h); (ii) derivar fórmulas IDF por escala (incluindo quebras em 4 h ou 8 h quando a escala é piecewise); e (iii) regionalizar os parâmetros para uso em postos sem medição (1 dia) via discriminação de regiões e regressões simples. Assume-se escala simples \(I_{\lambda d}\stackrel{\text{dist}}{=}\lambda^{\eta} I_d\) com expoente \(\eta\). Isso implica para momentos \(\mathbb{E}[I_{\lambda d}^n]=\lambda^{\eta n}\mathbb{E}[I_{d}^n]\) e, portanto, regressões \(\text{log--log}\) dos momentos de ordem \(n\) em função de \(d\) fornecem \(\eta\) (escala simples em sentido amplo quando \(\eta_n=n\,\eta\)). A distribuição marginal usa Gumbel \(F(I_d)=\exp\{-\exp[-(I_d-\mu_d)/\alpha_d]\}\) e, com \(\hat y=-\ln[-\ln(1-1/T)]\), o quantil de duração \(d\) escreve-se, pela escala, como \(I_{T}(d) = I_{T}(\lambda d) = \big(\mu_{d} + \alpha_{d}\,\hat{y}\big)\,\left(\frac{d}{D}\right)^{\eta}\). Os parâmetros da Gumbel para a duração-referência \(D\) são obtidos por momentos ponderados pela probabilidade: \(\alpha_D=(2M^1_D-M^0_D)/\ln2,\ \mu_D=M^0_D-0{,}5772\,\alpha_D\). A análise mostra três regimes de escala (regiões homogêneas de escala): Tipo I (um único \(\eta\) para 1–24 h), Tipo II (dois expoentes \(\eta_a,\eta_b\) com quebra em 4 h) e Tipo III (dois expoentes com quebra em 8 h). Para postos sem registrador (apenas 1-dia), os autores mostram que \(\mu_{24}\) e \(\alpha_{24}\) podem ser aproximados a partir de \(\mu_{\text{dia}},\alpha_{\text{dia}}\) com um fator de correção único \(\delta \approx 1{,}112\), resultando em
\[ I_T(d)=\delta\big(\mu_{\text{day}}+\alpha_{\text{day}}\hat y\big)\,(d/24)^{\eta}\quad(\text{ou suas versões *piecewise* acima}) \tag{6}\]
A regionalização ocorre em duas frentes: (1) atribuição de região de escala por análise discriminante usando número médio de dias chuvosos (Wday) e altitude (H); quando necessário, usa-se um limiar de altitude (~375 m) para separar Tipos I/II; e (2) previsão de expoentes \(\eta, b_a, b_b\) por leis potência do índice \(R_{\text{dia}}\) (média do máximo diário anual).
Estudos mais recentes, como os de Rodrigues et al. (2023) e Wang et al.(2024), confirmam a validade e a utilidade da abordagem de escala simples. O trabalho de Rodrigues et al. (2023) constatam que um único expoente regional \(\eta\) é suficiente para uma área metropolitana de Belo Horizonte, resultando na equação
\[I_{d,T}\;=\;\frac{\mu_D D^{\eta}+\sigma_D D^{\eta}\,F^{-1}(1-1/T)}{d^{\eta}} \tag{7}\]
produzindo quantis para \(d\in[10\ \text{min},\,24\ \text{h}]\) e \(T\) usuais. Enquanto isso, Wang et al. (2024) utilizam krigagem e regressão para criar um mapa contínuo do expoente de escala \(\eta\), unindo a teoria da escala com as ferramentas de interpolação espacial. No plano físico-espacial, \(\eta\) mostra gradiente longitudinal e estabilidade temporal, o que respalda sua transferência a locais sem medição.
Uma vez estabelecida a lei de escala, o problema se torna a regionalização de seus parâmetros. Esta subseção mostra como métodos da seção anterior (regressão, interpolação) são aplicados a este novo contexto. O estudo de Ghanmi et al. (2016) fornecem um exemplo de regionalização de expoentes de escala (\(k_1,k_2\)) por meio de regressão contra um proxy disponível (o percentil 90% do máximo diário anual, \(P_{90\%}\)), conforme apresentado na equação
\[ k_1=-\frac{1.00}{P_{90\%}^{0.15}},\qquad k_2=-\frac{6.41}{P_{90\%}^{0.52}} \tag{8}\]
Com \(k_1,k_2\) previstos por regressão nas estações somente diárias, combinam-se esses expoentes com os parâmetros Gumbel de 24 h estimados localmente (\(\ell_{24},\ r_{24}\) por PWM) para gerar quantis IDF nas demais durações, usando a forma piecewise (dois regimes) baseada na escala simples. Os campos espaciais de \(\ell_{24}\), \(r_{24}\) e dos quantis IDF por \((d,T)\) são então interpolados por krigagem para produzir mapas IDF. Por outro lado, Borga et al.(2005) e Blanchet et al.(2016) utilizam a interpolação geoestatística (krigagem) para criar mapas contínuos dos parâmetros de escala. Este passo é uma ponte importante para os modelos totalmente contínuos da próxima seção; embora ainda não modelem os parâmetros da GEV como um processo espacial, eles já estão espacializando os componentes do modelo IDF. Bonaccorso et al. (2020) combinam essas ideias, usando regressão dentro de sub-regiões pré-definidas (delineadas por expoentes de escala interpolados) para regionalizar o parâmetro \(\eta\).
Como um contraponto aos modelos de escala paramétricos, esta abordagem “empresta” a estrutura temporal diretamente de locais similares, sem assumir uma forma funcional específica. Aguilar & Costa (2020) apresentam uma abordagem onde a similaridade não se baseia apenas na geografia, mas em um teste estatístico (teste KS 2D) da distribuição conjunta dos totais diários e atributos subdiários. A regionalização é então um processo de dois passos: (1) uma regressão logística para prevê a probabilidade de dois locais serem “hidrologicamente similares”
\[ \Pr(u=1)=logit(z)=\frac{e^{z}}{1+e^{z}},\qquad z=\beta_0+\beta_1\nu_1+\beta_2\nu_2+\beta_3\nu_3+\beta_4\nu_4 \tag{9}\]
com o vetor \(\beta\) englobando os coeficientes de regressão e o vetor \(\nu\) os preditores delineados anteriormente; (2) um esquema de k-vizinhos mais próximos (Método dos Fragmentos) é usado para amostrar e reescalar padrões de chuva dos locais doadores. A abordagem de escala separa o problema em duas componentes: a magnitude local da chuva, estimável a partir de estatísticas diárias amplamente disponíveis, e a estrutura temporal regional, resumida por um expoente de escala obtido com uma rede mais enxuta de pluviógrafos. Essa decomposição viabiliza, de forma eficiente, o aumento de dados e a desagregação de séries diárias para durações menores, atendendo a uma demanda operacional recorrente em hidrologia.
Modelagem de Extremos Espaciais e Hierárquicos:
Nesta classe, a regionalização não se limita a mapear um índice local: ela modela explicitamente a dependência espacial (e, por vezes, a ligação entre durações) e propaga a incerteza até os quatis. Em geral, isso é feito por modelos Bayesianos hierárquicos, que acoplam marginais de extremos a efeitos espaciais latentes, ou por processos máximo-estáveis (max-stable), que representam a física estatística da coocorrência de extremos. O ganho é capturar estruturas espaciais realistas e fornecer intervalos de predição consistentes, entretanto o custo se dá na complexidade do processo de inferência e na exigência de dados que permitam realizar um diagnóstico adequado do modelo.
O Modelo Hierárquico Bayesiano (BHM) fornece uma estrutura unificada para a modelagem espacial. Ele consiste em três níveis: o nível dos dados (por exemplo, a distribuição marginal em cada local, e.g. GEV), o nível do processo (onde os parâmetros são ligados a covariáveis e a um efeito aleatório espacial) e o nível das prioris que trazem informações relevantes sobre os parâmetors, porém sem o uso explícito das observações empregadas na construção da função verossimilhança. O conceito-chave é o de “emprestar força” (borrowing strength): as estimativas em locais com poucos dados são estabilizadas por serem informadas pelo processo espacial geral, estimado a partir de todos os locais simultaneamente. Em Cooley e Sain (2010), por exemplo, essa lógica é aplicada a extremos simulados por um RCM (controle 1995–2015; futuro 2040–2060). No nível dos dados, excedências acima do quantil 0,95 (com desagregação temporal) são representados por um processo pontual Poisson não-homogêneo, com uma distribuição a priori Beta para \(\xi\) com média 0,1 na faixa \(\left[-0.5,0.5\right]\). No nível de processo, os parâmetros de extremos em cada célula \(i\) e cenário \(r\) (localização \(\mu_{r,i}\), escala \(\sigma_{r,i}\), e forma \(\xi_{r,i}\)) são modelados por meio de uma regressão com uso de covariáveis fisiográficas (elevação, latitude, longitude e indicador oceano) mais o efeito espacial aleatório na grade. Os coeficientes das covariáveis do modelo de regressão são comuns entre controle e futuro, enquanto os interceptos diferem entre cenários, o que permite inferir mudanças regionais médias. A estrutura espacial dos efeitos é dado por um modelo autorregressivo intrínseco (IAR) multivariado em grade, com matriz de precisão separável \(Q=T\otimes W\) (onde \(W\) codifica vizinhança de primeira ordem e \(T\) capta correlações cruzadas entre \(\mu,\sigma,\xi\) e entre controle/futuro). Essa construção empresta força entre células da grade, suaviza os campos e, crucialmente, permite modelar \(\xi\) espacialmente, algo frequentemente fixado em análises regionais clássicas. A inferência via MCMC (Simulação Monte Carlo via Cadeia de Markov) produz campos regionais para diferentes quantis de interesse; a elevação emerge como preditor-chave, e os resultados indicam aumentos invernais e reduções no verão em grande parte do domínio. Renard (2011) une, em um único modelo hierárquico, a dependência entre séries via cópula elíptica \(EC_M\) (cópula elíptica em M dimensões) com matriz de dependência \(\mathbf{R}\) e um parametro adicional de cauda \(\gamma\):
\[ (Y[s_1,t],\dots,Y[s_M,t])\sim EC_M\!\big(\mathbf{R},\gamma,\boldsymbol\theta[s_1],\dots,\boldsymbol\theta[s_M]\big) \tag{10}\]
e a variação espacial dos parâmetros (regressões com erro espacial Gaussiano). No nível de processo, cada componente \(\theta_k(s)\) do vetor de parâmetros \(\boldsymbol\theta(s)=(\theta_1,\dots,\theta_D)\) é ligado a covariáveis fisiográficas/climáticas \(\mathbf{x}_k(s)\) por uma regressão com função de ligação \(g_k(\cdot)\) e erro espacial Gaussiano:
\[ g_k\!\big(\theta_k[s]\big) \;=\; h_k\!\big(\mathbf{x}_k[s];\,\boldsymbol\beta_k\big) \;+\; \varepsilon_k(s),\qquad (\varepsilon_k[s_1],\dots,\varepsilon_k[s_M]) \sim \mathcal{N}\!\big(\mathbf{0},\mathbf{C}_k\big) \tag{11}\]
com \(\mathbf{C}_k(i,j)=\mathcal{C}_k(\|s_i-s_j\|;\,\boldsymbol\tau_k)\) e evitando análises em duas etapas. A inferência conjunta segue a posteriori
\[ p(\boldsymbol\omega,\gamma,\{\boldsymbol\beta_k,\boldsymbol\tau_k,\boldsymbol\varepsilon_k\}_{k=1}^D \mid \tilde{\mathbf y},\mathbf x)\propto \underbrace{p(\tilde{\mathbf y}\mid \boldsymbol\omega,\gamma,\{\boldsymbol\beta_k,\boldsymbol\varepsilon_k\})}_{\text{verossimil-cópula+GEV}}\times \underbrace{p(\{\boldsymbol\varepsilon_k\}\mid\{\boldsymbol\tau_k\})}_{\prod_k \mathcal{N}(\mathbf 0,\mathbf C_k)}\times \text{priores} \tag{12}\]
onde a verossimilhança anual usa o \(EC_M\) com marginais \(p(\boldsymbol\theta[s])\) obtidas da regressão acima. A previsão em locais sem medição decorre da condicionalização gaussiana dos erros de regressão
\[ \begin{gather} \varepsilon_k(s_\star)\mid \boldsymbol\varepsilon_k(\tilde s),\boldsymbol\tau_k \;\sim\; \mathcal{N}\!\big(\mu_{k,\mathrm{cond}},\,\sigma^2_{k,\mathrm{cond}}\big),\quad \\ \mu_{k,\mathrm{cond}}=\mathbf K_k\,\mathbf X_k^{-1}\boldsymbol\varepsilon_k,\ \ \\ \sigma^2_{k,\mathrm{cond}}=\sigma_k^2-\mathbf K_k\,\mathbf X_k^{-1}\mathbf K_k^\top \end{gather} \tag{13}\]
em que \(\mathbf X_k\) é a covariância entre erros nos postos observados e \(\mathbf K_k\) a covariância cruzada com \(s_\star\). Amostrando \(\varepsilon_k(s_\star)\) e aplicando a regressão, obtém-se \(\boldsymbol\theta(s_\star)\) e, daí, quantis \(z_T(s_\star)\). Este passo é a ponte de regionalização do método em que a informação se transfere a partir da estrutura espacial do erro de modelo e das covariáveis. Bracken et al.(2016) demonstram uma aplicação em larga escala que enfrenta desafios computacionais, introduzindo o uso de verossimilhança composta para tornar o problema tratável para milhares de estações. No estudo, os autores mapeiam \(\mu,\sigma,\xi\) e quantis de interesse no oeste dos EUA com marginais GEV acopladas por cópula Gaussiana e regressões espaciais com coeficientes que variam suavemente no espaço
\[ \begin{gather} \mu(s)=\beta_{\mu,0}+\mathbf{x}(s)^{\top}\boldsymbol{\beta}_\mu(s)+w_\mu(s),\quad \\ \sigma(s)=\beta_{\sigma,0}+\mathbf{x}(s)^{\top}\boldsymbol{\beta}_\sigma(s)+w_\sigma(s),\quad \\ \xi(s)=\beta_{\xi,0}+\mathbf{x}(s)^{\top}\boldsymbol{\beta}_\xi(s)+w_\xi(s)\\ \end{gather} \tag{14}\]
Para viabilidade com ~2.600 estações, adotam verossimilhança composta, simulam condicionalmente os campos em grade e obtêm mapas sem viés espacial sistemático. Sharkey e Winter (2019) abordam uma questão sutil, mas crítica: os BHMs padrão que assumem independência condicional podem subestimar a incerteza. Eles introduzem um fator de correção k aplicado à verossimilhança, que infla a variância a posteriori para fornecer intervalos de credibilidade mais realistas. Os autores modelam excedências diárias pela Distribuição Pareto Generalizada (GPD) em cada célula e aplicam um ajuste de magnitude da verossimilhança (\(L^\ast=L^k\)) para inflar variâncias e corrigir dependência residual não modelada, enquanto a regionalização ocorre no nível de processo por modelo autoregressivo condicional multivariado (CAR) ou um modelo autoregressivo intrínseco (IAR) na malha \(\theta_j=\left(\log{\widetilde{\sigma}}_j,\xi_j\right)\) seguem
\[\theta_j \sim \mathcal N\!\big(X_j\beta+\phi_j,T_\theta^{-1}\big) \tag{15}\]
em que \(X_j\) traz covariáveis fixas (p.ex. longitude) e \(\phi_j\) é um efeito aleatório espacial bivariado com prioris obtidos de um modelo CAR ou um modelo IAR na malha, suavizando parâmetros e quantis de interesse e evitando saltos artificiais de fronteira. Complementarmente, Lima et al. (2018) propõe uma regionalização Bayesiana de IDFs que conecta durações por invariância de escala, permitindo melhorar estimativas com séries curtas, propagar informação para postos parcialmente monitorados (apenas diário) e construir IDFs regionais históricas e futuras. Em cada posto com dados subdiários, ajusta-se uma GEV impondo, como priori estrutural, que os parâmetros de localização e escala em \(d\) se relacionam aos de 24 h da seguinte forma,
\[ \log\mu_d=\log\mu_{24}-\eta\log\!\big((d+\theta)/(24+\theta)\big) \tag{16}\]
\[ \log\sigma_d=\log\sigma_{24}-\eta\log\!\big((d+\theta)/(24+\theta)\big) \tag{17}\]
mantendo \(\xi\) comum entre durações. Adotam-se prioris normais para \(\log\mu\) e \(\log\sigma\), Beta para \(\eta\in[0,1]\), uniforme para \(\theta\ge0\) e Beta para \(\xi\in[-0{,}5,0{,}5]\), com inferência via MCMC. A informação de escala é então agrupada (pooled) regionalmente: juntam-se as distribuições a posteriori de \(\eta\) e \(\theta\) dos vários postos para formar \(p_R(\eta,\theta)\), e trata-se \(\xi\) com média/variância regionais. Em postos só com informação a nível diário, estima-se uma GEV de 24 h (corrigindo, se preciso, o máximo diário para 24 h com fator de Hershfield) e, em seguida, escala-se para \(d<24\) h amostrando \(\eta\) e \(\theta\) a partir de \(p_R(\eta,\theta)\), obtendo IDFs subdiárias sem registro fino. Para IDFs regionais, concatena-se a série de máximos anuais de 24 h de todas as estações e estima-se \((\mu_{24},\sigma_{24},\xi_{24})\) regionais, que são transferidos às demais durações com \(p_R(\eta,\theta)\); no futuro, corrige-se viés das séries diárias de GCM/RCM, reestima-se a GEV(24 h) regional e reaplica-se o mesmo esquema de escala, preservando a estrutura inferida historicamente. Os autores mostram que a metodologia dá consistência entre durações e oferece um elo efetivo de regionalização entre postos completos e parcialmente monitorados.
Ainda nessa linha integrativa, Le et al. (2019) combinam marginais da distribuição Pareto generalizada (GPD) por duração com um processo máximo-estável invertido (Brown–Resnick), estimado via o coeficiente residual de dependência na cauda \(\eta(h)\) (Ledford–Tawn), assumindo o variograma \(\gamma(h)=|h|^{\beta}/q\). Para capturar a dependência entre durações, introduz-se um nugget de duração na forma \(\gamma_{\text{ad}}(h)=|h|^{\beta}/q + c\,(D-d)/d\) (com \(\gamma\) sendo o variograma Brown–Resnick, \(d\) a duração alvo, \(D\) a duração de referência, \(c\) o parâmetro do nugget de duração ), o que enfraquece a coocorrência quando se condiciona eventos de \(D\) h a durações mais curtas. Com o modelo ajustado, simulam-se campos de chuva extremos para: (i) mapear quantis condicionais, (ii) estimar ARFs (fatores de redução areal) consistentes com a dependência, e (iii) computar probabilidade de falha do sistema (p. ex., uma rodovia com cinco pontes) via séries sintéticas longas (10 000 anos, repetidas).
Embora os BHMs baseados em processos Gaussianos sejam poderosos e amplamente aplicados, os processos máximo-estáveis surgem como modelos para a distribuição de máximos de processos espaciais, tornando-os a extensão natural da Teoria de Valores Extremos (EVT) univariada para o domínio espacial. Stephenson et al. (2016) tratam explicitamente a dependência de extremos por um processo máximo-estável (Reich–Shaby) empregando uma reparametrização por Koutsoyiannis et al. (1998), que permite empregar a GEV para múltiplas durações de forma simultânea. Nessa reparametrização, \(\tilde\mu(s_i) = \mu_{i,d}/\sigma_{i,d}\) e \(\xi(s_i)\) são independentes da duração, enqanto o parâmetro de escala varia com a duração segundo a equação abaixo,
\[ \sigma_d(s_i)=\frac{\rho_d\,\sigma(s_i)}{\{\rho_d+\kappa(s_i)\}^{\,\eta(s_i)}},\quad 0<\eta(s_i)\le 1,\ \kappa(s_i)>0 \tag{18}\]
sendo \(\rho_d\) a duração em horas; por conveniência matemática, os dados originais são transformados para Fréchet padrão por
\[X_{t,d}(s_i)=\Big[1+\xi(s_i)\tfrac{Y_{t,d}(s_i)}{\sigma_d(s_i)}{-\tilde\mu(s_i)}\Big]^{-1/\xi(s_i)}\! \tag{19}\]
com \(\alpha <1\), resultando na seguinte distribuição de probabilidade conjunta,
\[ \Pr\big(X_{t,d}(s_i) < x_i,\; i = 1, \ldots, N\big) = \exp\left\{ - \sum_{k=1}^{K} \left[ \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{w_k(s_i)}{x_i} \right)^{1/\alpha} \right]^{\alpha} \right\} \tag{20}\]
Desse modo, a distribuição espacial dos quantis ficam mais plausíveis e as caudas, mais pesadas do que no hierárquico latente independente, preservando intervalos realistas em áreas pouco monitoradas.
No mesmo espírito de acoplar espaço e duração, e tentando incluir a estrutura de correlação entre eventos, Le et al. (2018) empregam a reparametrização da GEV sugerida por (Koutsoyiannis, Kozonis, e Manetas 1998), em conjunto com a ideia de um processo máximo-estável e um processo de interpolação dos parâmetros do modelo utilizando a técnica dethin-plate splines, tendo como base latitude/longitude (elevação e distância ao litoral não melhoraram). Essa estratégia permite gerar superfícies contínuas dos parâmetros do modelo para uso em locais não monitorados.
Recentemente, Duarte et al. (2025) desenvolveram uma estratégia de modelagem baseada em processo máximo-estável, seguindo a lógica introduzida por Stephenson et al. (2016), porém com algumas inovações. Eles aplicaram a metodologia proposta na região metropolitana de Belo Horizonte, fazendo uso de observações em 8 postos, com tamanho de série histórica variando entre 6 e 17 anos. Dentre as inovações, quando comparada com a metodologia de Stephenson et al. (2016), pode-se citar: (a) o uso de covariáveis tanto no nível dos dados, quando no nível dos processos, na tentativa de explicar a variabilidade espacial dos parâmetros e avaliar de forma explícita seus efeitos no expoente de escala, no parâmetro de forma da GEV, e na dependência espacial dos extremos; (b) a incorporação do “pooling” parcial na estimativa dos parâmetros da GEV, permitindo uma combinação mais adequada entre as informações locais, muitas vezes restritas, com informações oriundas de outras estações na região; e (c) uma comparação entre o modelo espacialmente dependente, baseado no processo máximo-estável, com um modelo condicionalmente independente, permitndo uma análise de como a depedência espacial dos extremos afeta as estimativas das curvas IDF. Apesar da escassez de informação na região, com estações com séries relativamente curtas, a modelagem explícita da dependência espacial dos eventos extremos, por meio do processo máximo-estével, resultou em distribuições com caudas pesadas em todos os postos empregados, e com valores de parâmetro de forma da GEV próximos daqueles reportados na literatura recente em estudos de caráter global. O uso simples de “pooling” parcial se mostrou o suficiente para a estimativa dos parâmetros, tendo em vista que o uso de covariáveis para melhor representar a variabilidade espacial dos mesmos não resultaram em melhoria. Entretanto, uma análise de validação cruzada indicou um subestimativa dos valores do parâmetro de forma em alguns postos, sugerindo a possibilidade de melhoria do modelo regional com o uso de alguma nova covariável ainda não detectada. Por fim, o uso do processo máximo-estável parece ter resultado numa melhor estimativa dos quantis para durações sub-horárias, embora não tenha sido possível concluir, de uma forma geral para toda a região, se há benefícios para durações maiores.
Análise de Co-variabilidade e Multivariada:
Estudos que exploram a relação entre precipitação extrema e outras variáveis climáticas (como temperatura), ou que desenvolvem métodos multivariados, incluindo regressão quantílica e cópulas.
O trabalho de Cooley et al. (2012) propõe uma forma de regionalizar (no sentido de prever em um ponto não observado a partir de vizinhos) quando as observações são grandes, usando Teoria de Valores Extremos multivariada. A ideia-chave é modelar diretamente a dependência na cauda via a medida angular \(H\) (ou sua densidade \(h\)) de um vetor regularmente variante \(Z=(Z_1,\ldots,Z_d)\). Após transformar cada série marginal para Fréchet unitária e selecionar excedências a um limiar alto, ajusta-se um modelo paramétrico/semiparamétrico para \(H\) (no estudo, modelo beta pareado). Com \(H\) ajustada, aproxima-se a densidade condicional do componente não observado \(Z_d\) dado os demais quando a norma dos observados é grande, por meio de
\[ f_{Z_d\mid Z_{-d}}(z_d\mid z_{-d})\ \approx\ \frac{\|z\|^{-(d+1)}\,h\!\left(z/\|z\|\right)}{\displaystyle\int_0^{\infty} \|z(t)\|^{-(d+1)}\,h\!\left(z(t)/\|z(t)\|\right)\,dt} \tag{21}\]
com \(z=(z_{-d},z_d)\) e \(z(t)=(z_{-d},t)\). Essa aproximação decorre da representação por processo de Poisson para excedências de vetores regularmente variantes e permite gerar distribuições preditivas completas (com incerteza) em locais não monitorados, específicas para o regime extremo (em vez de apenas preditores lineares). O artigo ilustra com NO₂ em Washington, DC em que transforma-se cada estação para Fréchet, ajusta-se \(H\) às observações mais altas e, para dias “grandes”, estima-se a densidade condicional no ponto-alvo dado as quatro estações vizinhas; compara-se com krigagem simples e krigagem por indicadores, mostrando melhor calibração probabilística nas caudas.
O estudo de Meis et al. (2024) propõe uma regionalização baseada na co-variabilidade precipitação–temperatura máxima diária, tratando a regionalização como a identificação de estações/áreas com comportamento coerente da relação temperatura com extremos de precipitação. A metodologia tem duas etapas acopladas: (i) modela-se a série de temperatura máxima diária \(X_t\) por regressão harmônica dinâmica com componente autorregressivo AR(\(p\)) e sazonalidade estocástica (seleção de \(p\) e do número de harmônicos \(R_s\) por validação cruzada em janelas deslizantes). Desta forma, obtêm-se valores \(\hat X_t\) que capturam a memória temporal relevante do aquecimento antes da chuva; (ii) estima-se, por regressão quantílica polinomial, o quantil extremo condicional de precipitação \(Q_{Y\mid X}(\tau)\) (usando \(\tau=0{,}90\) e \(0,95\)) com \(\log Y_t\) como resposta e polinômios em \(\hat X_t\) como preditores (ordem \(k\) escolhida por validação). O desempenho é avaliado por perda da função de custo pinball no conjunto de teste e comparado a um modelo nulo que usa apenas os quantis empíricos de precipitação. O ganho do modelo condicional é então mapeado por estação e por estação-do-ano. O passo explicitamente regional consiste em classificar cada posto segundo (a) o grau de memória (\(p\) baixo/médio/alto, refletindo a extensão temporal da influência térmica) e (b) a forma funcional da relação (linear, quadrática, linear-quadrática ou não linear-quadrática). Esses rótulos são organizados espacialmente para delimitar regiões de co-variabilidade com interpretação físico-climática. Em termos de resultados, o modelo condicional supera o nulo em ~35–45% dos casos (dependendo da estação e do quantil), chegando a >50–70% quando a diferença relativa de perda é <1%, e os mapas de \(p\) e da forma do polinômio exibem coerência espacial com poucas quebras atribuíveis a ruído/amostragem.